Comment fonctionne le modèle de pricing d’options Black-Scholes ?
Sommaire
Introduction
On rappelle qu’une option est un contrat octroyant à son détenteur le droit, sans toutefois l’y obliger, d’acheter ou de vendre un actif sous-jacent à un prix d’exercice fixé, soit avant, soit à la date d’échéance du contrat. La compréhension de la tarification des options est primordiale car elle influence directement la stratégie des investisseurs et, de ce fait, la dynamique du marché.
Au cœur de cette mécanique , on trouve le Modèle Black-Scholes, élaboré dans les années 1970 par les économistes Fischer Black et Myron Scholes, avec des apports notables de Robert Merton. Ce modèle a posé les fondements de l’évaluation moderne des options en offrant une approche mathématique rigoureuse pour déterminer leur prix. Avant l’avènement du Modèle Black-Scholes, le monde des options était largement perçu comme une terra incognita, avec une compréhension sommaire de la manière dont les prix des options étaient établis.
Le Modèle Black-Scholes a pavé la voie à une myriade d’innovations financières et de stratégies. Il présente une formule mathématique qui, en intégrant des paramètres clés tels que le prix de l’actif sous-jacent, le prix d’exercice, le temps restant jusqu’à l’échéance, le taux d’intérêt sans risque et la volatilité, permet d’estimer la valeur théorique d’une option. Cette formule, bien qu’établie il y a des décennies, demeure une référence dans le secteur de la finance quantitative et influence toujours les pratiques de trading et d’investissement actuelles.
Le contexte historique du Modèle Black-Scholes
Le Modèle Black-Scholes tire son origine des efforts conjugués de Fischer Black et Myron Scholes, deux économistes visionnaires ayant cherché à déchiffrer le mystère entourant la tarification des options. Leur collaboration a abouti en 1973 à l’élaboration d’un modèle mathématique qui a révolutionné les mathématiques financières. Cette avancée représente un tournant majeur, offrant pour la première fois un cadre mathématique robuste pour l’évaluation des options. L’impact de cette innovation fut tel que le Modèle Black-Scholes s’est rapidement imposé au cœur des salles de marché, devenant un outil incontournable pour les traders et les investisseurs.
Leur œuvre était un prolongement des recherches précédemment menées par des figures éminentes comme Paul Samuelson et Robert Merton. D’ailleurs, Merton a joué un rôle prépondérant dans l’élargissement et la précision des idées initiales de Black et Scholes, contribuant à la finalisation et à la diffusion du modèle. L’influence française dans l’évolution de la tarification des options ne doit pas être négligée, avec Louis Bachelier ayant initié l’étude du sujet dès 1900, posant ainsi les jalons de la théorie moderne des options.
Le modèle a été baptisé en l’honneur de ses principaux concepteurs, Black et Scholes, mais est souvent référencé comme le Modèle Black-Scholes-Merton en hommage à la contribution significative de Robert Merton.
Les travaux de ces trois économistes ont eu un impact tel que Myron Scholes et Robert Merton se sont vu décerner le Prix Nobel d’Économie en 1997 pour leur contribution à la tarification des options et aux marchés financiers. Fischer Black, malheureusement décédé en 1995, n’a pas pu être honoré par ce prix, bien que son rôle essentiel dans l’élaboration du modèle soit largement reconnu.
Le Modèle Black-Scholes a été dévoilé dans un article intitulé « The Pricing of Options and Corporate Liabilities » en 1973, inaugurant ainsi une nouvelle ère dans le secteur financier. Cette découverte a catalysé l’apparition de nouvelles stratégies de trading et a simplifié l’évaluation d’instruments financiers . Le modèle a également stimulé d’autres avancées en mathématiques financières, y compris la conception de modèles alternatifs de tarification d’options et l’intégration accrue de méthodes quantitatives en analyse financière.
Avec le temps, le Modèle Black-Scholes a connu diverses modifications pour s’adapter à un marché financier en constante mutation. Néanmoins, son cœur demeure fondamental dans la tarification des options, témoignant de l’innovation exceptionnelle apportée par Black, Scholes et Merton au monde financier.
Quels sont les composants clés du modèle Black-Scholes ?
Le Modèle Black-Scholes se distingue par sa structure mathématique , qui s’appuie sur un ensemble de variables et d’hypothèses fondamentales. Ces éléments contribuent à formuler une évaluation précise des options sur le marché. Nous aborderons ici les composants clés et les hypothèses qui sous-tendent ce modèle innovant.
Les composants clés :
Prix de l'actif sous-jacent (S)
Il s’agit du prix actuel de l’actif sur lequel l’option est basée. La performance future présumée de cet actif est cruciale pour déterminer la valeur de l’option.
Prix d'exercice (E ou K)
Le prix d’exercice est le prix auquel le détenteur de l’option peut acheter (dans le cas d’une option d’achat) ou vendre (dans le cas d’une option de vente) l’actif sous-jacent.
Temps jusqu'à l'expiration (t)
La durée restante jusqu’à l’expiration de l’option. Le temps est un facteur crucial car il influence la probabilité que l’option termine dans la monnaie.
Taux d'intérêt sans risque (r)
C’est le rendement obtenu en investissant dans un actif sans risque, comme les bons du Trésor des États-Unis. Ce taux est utilisé comme référence pour évaluer le rendement attendu de l’option.
Volatilité (σ)
La volatilité mesure l’ampleur des fluctuations du prix de l’actif sous-jacent. Une volatilité élevée augmente la probabilité que l’option termine dans la monnaie et, par conséquent, augmente la valeur de l’option.
L'hypothèses fondamentales
Il y a pas de dividendes
Le modèle suppose que l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l’option.
Le marché est efficace
Les marchés sont supposés être efficaces, ce qui signifie que les prix reflètent toutes les informations disponibles et suivent un mouvement aléatoire.
L'absence de coûts de transaction
Il n’y a pas de coûts associés à l’achat ou à la vente de l’option, ce qui simplifie l’évaluation de l’option.
Un taux d'intérêt constant
Le taux d’intérêt sans risque est supposé rester constant pendant la durée de vie de l’option.
Application de la distribution lognormale
Les rendements de l’actif sous-jacent suivent une distribution lognormale, ce qui implique que les prix de l’actif peuvent fluctuer de manière asymétrique, mais la probabilité de grandes variations de prix est faible.
Options de Style Européen
Le modèle est conçu pour des options de style européen, qui ne peuvent être exercées qu’à l’échéance.
Ces paramètres sont essentiels pour la formulation et l’application du Modèle Black-Scholes. Ils fournissent un cadre structuré permettant d’évaluer les options de façon systématique.
Le fondement mathématique
Le modèle Black-Scholes est devenu incontournable. Il offre la possibilité d’évaluer théoriquement une option de style européen en intégrant différentes variables déterminantes pour son prix.
Les concepts clés :
- La distribution normale : La formule Black-Scholes fait appel à la distribution normale, un concept central en statistiques, pour modéliser les mouvements de prix de l'actif sous-jacent.
- Une fonction logarithmique : Les logarithmes sont utilisés pour simplifier l'expression de la relation entre le prix de l'actif sous-jacent et le prix d'exercice.
- Une exponentielle négative : L'exponentielle négative dans la formule permet de modéliser la décroissance de la valeur de l'option avec le temps.
- La Racine Carrée du Temps : La volatilité est souvent multipliée par la racine carrée du temps restant, reflétant l'incertitude croissante associée à des périodes plus longues.
La formule de Black-Scholes propose une méthode structurée pour évaluer les options en tenant compte des paramètres essentiels du marché. Elle offre une perspective précise sur l’impact de différents éléments sur le prix de l’option. De plus, la formule de Black-Scholes sert souvent de base pour explorer des modèles de tarification d’options plus sophistiqués et élaborer des stratégies de trading appuyées sur des analyses quantitatives.
Quelles sont les applications pratiques ?
Le modèle Black-Scholes est un outil incontournable en raison de son application directe et concrète. En offrant une approche structurée d’évaluation d’options, il devient un pilier pour les investisseurs. Cette formule est largement adoptée pour déterminer la juste valeur des options d’achat et de vente. De plus, elle est fondamentale dans l’élaboration de stratégies basées sur les options. Au-delà de la tarification et des stratégies de trading, le modèle Black-Scholes joue un rôle essentiel dans la gestion des risques. Il offre une perspective sur les risques associés à différentes positions d’options, qui est un aspect primordial pour une gestion de portefeuille optimale.
Le modèle de tarification binomiales
Le modèle de tarification des options binomiales adopte une approche différente pour estimer la valeur d’une option. Plutôt que de s’appuyer sur une seule formule, il envisage une multitude de scénarios pour le prix final de l’actif sous-jacent à l’échéance. Cette méthodologie implique la création d’un arbre binomial. Chaque branche de cet arbre divise le temps restant avant l’expiration en segments distincts, avec chaque segment représentant soit une hausse, soit une baisse potentielle du prix de l’actif. Le modèle calcule ensuite la valeur de l’option en partant de la fin et en remontant vers le présent, ajustant la valeur à chaque étape.
En comparaison avec le Modèle Black-Scholes, plusieurs nuances se dégagent. D’abord, en ce qui concerne la complexité, bien que le Modèle Black-Scholes nécessite une compréhension profonde de mathématiques avancées, le Modèle Binomial est en revanche plus intuitif. Deuxièmement, le Modèle Black-Scholes, avec sa rapidité et son efficacité, est idéal pour un marché stable, tandis que le Modèle Binomial brille par sa précision dans les marchés volatils, en particulier si l’option a une échéance éloignée. En outre, le Modèle Binomial se distingue par sa flexibilité. Contrairement au Modèle Black-Scholes, conçu spécifiquement pour les options européennes exercées uniquement à l’échéance, le Modèle Binomial peut être adapté pour évaluer les options américaines qui peuvent être exercées à n’importe quel moment avant l’expiration.
Les fondements théoriques diffèrent également. Le Modèle Black-Scholes s’appuie sur une distribution lognormale des retours et suppose un marché continu. Le Modèle Binomial, en revanche, ne s’appuie pas sur ces hypothèses, le rendant ainsi plus versatile face à différents environnements de marché. Enfin, en termes de calculs, bien que le Modèle Black-Scholes soit direct grâce à sa formule analytique, le Modèle Binomial, avec son approche récursive, peut nécessiter davantage de ressources, surtout si l’arbre binomial est dense.
Modèle Black-Scholes ou binomial : lequel choisir ?
Le choix entre le Modèle Black-Scholes et le Modèle de Tarification des Options Binomiales dépend en grande partie des spécificités du marché et des préférences des utilisateurs. Pour ceux qui valorisent la simplicité, la flexibilité et la précision dans des conditions de marché fluctuantes, le Modèle Binomial pourrait être plus adapté. En revanche, le Modèle Black-Scholes pourrait être favorisé pour sa rapidité de calcul et son efficacité dans des marchés plus stables et prévisibles.
Les limitations et adaptations au marché moderne
Bien que le Modèle Black-Scholes ait marqué une avancée majeure dans la tarification des options, il présente certaines contraintes. Avec le temps, experts du marché et académiciens ont mis en lumière ses faiblesses, tout en suggérant des ajustements pour mieux coller aux réalités actuelles des marchés financiers. Nous aborderons ici les limites inhérentes au modèle Black-Scholes ainsi que les améliorations contemporaines apportées pour pallier ces imperfections.
L’une des critiques majeures du Modèle Black-Scholes repose sur ses hypothèses, notamment la stabilité du taux d’intérêt, la volatilité et l’omission des coûts de transaction, des éléments parfois décalés par rapport aux marchés concrets. De plus, son postulat d’une distribution lognormale des rendements est souvent remis en question car il minimise le risque d’événements rares mais marquants. L’idée d’une volatilité fixe est également discutée, sachant que celle-ci fluctue en fonction des aléas du marché. Par ailleurs, son application se limite aux options européennes, omettant les options américaines exercées avant leur date d’expiration.
Face à ces limites, de nouvelles approches ont vu le jour. Les modèles de volatilité stochastique, à l’instar du modèle Heston, reconnaissent la volatilité comme une entité changeante. Des variantes du modèle Black-Scholes, telles que les modèles binomiaux et trinomiaux, ont été conçues spécifiquement pour les options américaines. D’autres, comme les modèles à sauts, considèrent les brusques variations des prix, tandis que des techniques numériques, comme la méthode de Monte Carlo, affinent l’évaluation des options dans des contextes de marché plus complexes.
En somme, bien que le Modèle Black-Scholes initial ait ses faiblesses, son influence est indéniable.
Conclusion
Le Modèle Black-Scholes occupe une place centrale dans la tarification des options, offrant un cadre mathématique solide. Depuis sa présentation dans les années 1970, il a profondément modifié la manière dont les options sont appréhendées et échangées.
Cependant, comme nous l’avons souligné, ce modèle présente des lacunes. Ses hypothèses, parfois déconnectées de la réalité, peuvent conduire à des évaluations erronées selon les conditions de marché. Néanmoins, le Modèle Black-Scholes demeure un outil incontournable, ses fondamentaux ayant inspiré d’innombrables améliorations et avancées en finance quantitative. L’examen du Modèle de Tarification des Options Binomiales nous a dévoilé l’éventail des méthodologies existantes pour tarifer les options, toutes ayant leurs points forts et faibles. Ces modèles sont des piliers pour les spécialistes de la finance souhaitant évaluer, négocier et maîtriser les risques liés aux options et autres dérivés financiers. Les évolutions récentes du Modèle Black-Scholes, en particulier les modèles de volatilité stochastique et les techniques numériques sophistiquées, illustrent le progrès incessant de la finance quantitative face aux enjeux des marchés financiers en constante mutation.
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Techno-Science (https://www.techno-science.net/definition/6256.html)
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FutureLearn (https://www.futurelearn.com/info/courses/risk-management/0/steps/39298)
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Seeking Alpha (https://seekingalpha.com/article/4505678-calculating-the-black-scholes-model)
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Investopedia (https://www.investopedia.com/terms/b/blackscholes.asp)
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Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model)
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https://freepik.com/icone/lcd_8703554#fromView=search&term=mathematique&page=1&position=38&track=ais
https://fr.freepik.com/vecteurs-libre/homme-affaires-technologie-mesurant-position-mouvement-yeux-personnes-minuscules-technologie-suivi-yeux-suivi-du-regard-concept-capteur-position-yeux_11669265.htm#page=2&query=model%20binomial&position=2&from_view=search&track=ais
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