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Les mouvements browniens de la physique à la finance !
Sommaire
Introduction
Le concept de mouvement brownien est utilisé depuis de nombreuses années pour illustrer et essayer d’expliquer les fluctuations de prix, par exemple des actifs financiers. Observé pour la première fois par le botaniste écossais Robert Brown en 1827, le mouvement brownien décrit le déplacement aléatoire de particules dans un fluide. Au fil des années, ce phénomène a été adapté par des scientifiques et des mathématiciens pour analyser et prédire les comportements aléatoires dans divers domaines, dont la finance, où il permet de modéliser les variations des prix.
Contexte et applications
Dans le monde de la finance quantitative, le concept de mouvement brownien est essentiel, car il est au cœur de plusieurs modèles de pricing, grâce à la modélisation des fluctuations de prix d’actifs. Cette méthode est la base de nombreux modèles financiers, dont le célèbre modèle de Black-Scholes. En supposant que les prix suivent un mouvement erratique et imprévisible, ces modèles permettent une approche des risques du marché d’un point de vue probabilistique.
Découverte et historique scientifique
Quant au domaine financier, c’est Louis Bachelier qui fut le premier à appliquer ce modèle au monde de la finance dans sa thèse de 1900 intitulée « Théorie de la spéculation ». Son travail inspira les futurs modèles comme celui de Black-Scholes, qui repose sur les propriétés du mouvement brownien pour évaluer les options.
Le mouvement brownien doit son nom à Robert Brown, qui observait en 1827 des grains de pollen en suspension dans l’eau. Il remarqua que ces particules semblaient bouger spontanément et sans direction fixe, sans intervention de forces visibles.
Ce n’est qu’au début du XXᵉ siècle que le mouvement brownien fut formalisé mathématiquement. Des figures comme Albert Einstein et Jean Perrin donnèrent un cadre scientifique au phénomène en expliquant qu’il était dû aux chocs aléatoires entre les particules et les molécules présentes. Ces travaux aboutirent à l’établissement de la théorie mathématique autour du mouvement brownien, également connue sous le nom de processus de Wiener en probabilité.
Développement et adaptation par Louis Bachelier
La modélisation mathématique du mouvement brownien n’apparut qu’au début du XXᵉ siècle. En 1905, Albert Einstein a développé une théorie quantitative, expliquant ce phénomène à l’aide de la théorie cinétique des gaz. Peu après, le physicien Jean Perrin valida cette théorie par des expériences qui lui permirent de confirmer l’existence des atomes, donnant ainsi une base physique solide à l’étude du mouvement brownien.
Dans le domaine financier, c’est le mathématicien français Louis Bachelier qui adapta le mouvement brownien pour la première fois aux fluctuations de marché. Bachelier utilisa le mouvement brownien pour décrire les fluctuations des prix des actions, avançant ce qui sera la base d’une approche probabiliste du marché. Il a été l’un des premiers à considérer les prix comme un processus stochastique ou aléatoire, un concept révolutionnaire à l’époque !
Le travail de Bachelier est souvent reconnu comme précurseur du modèle Black-Scholes, qui est très largement utilisé aujourd’hui pour évaluer le prix des options ainsi que de multiples dérivés. En adaptant le mouvement brownien aux marchés financiers, Louis Bachelier a permis de représenter les prix comme des processus aléatoires influencés par des événements indépendants et imprévisibles, tout en intégrant la volatilité, un élément devenu incontournable sur les marchés !
Le mouvement brownien et les mathématiques
Le mouvement brownien aussi connu sous le nom de processus de Wiener, est un processus stochastique qui a été formalisé pour capturer l’évolution erratique de particules. Il a rapidement trouvé des applications dans le domaine de la finance, où il est utilisé pour représenter les fluctuations de prix.
Un processus stochastique est une collection de variables aléatoires, souvent dépendantes du temps, qui représentent l’évolution d’un système soumis à des influences aléatoires. Dans les mathématiques et les probabilités, un processus stochastique est utilisé pour modéliser des phénomènes dynamiques où l’incertitude y est prépondérante.
Le processus de Wiener
Le processus de Wiener est défini comme un processus aléatoire continu qui possède trois caractéristiques principales :
- L'accroissement indépendant : Les variations de processus entre deux intervalles de temps non chevauchants sont indépendantes, explicables aussi comme des changements de valeur imprévisibles ne dépendant pas de l’historique passé. Cela corrobore l’idée que les informations passées sont déjà intégrées dans le prix actuel, rendant les variations futures imprévisibles.
- Un accroissement stationnaire : Pour tout intervalle de temps donné, les variations de valeur suivent une loi normale de moyenne nulle, avec une variance proportionnelle à la durée de l’intervalle. Cette propriété traduit le caractère stable et prévisible. En d'autres termes, les variations suivent une loi normale centrée autour de zéro. Cette normalité dans les fluctuations permet aux analystes de calculer les probabilités de variations dans des intervalles de temps spécifiques, facilitant la prévision des mouvements de prix à court terme.
- Une continuité presque sûre : Les trajectoires du processus de Wiener sont continues, bien qu'elles soient irrégulières, d’où la nature erratique et sans dérivabilité du mouvement brownien. Plus l’horizon temporel s’étend, plus la variance des accroissements augmente. Cette caractéristique permet de quantifier le risque en fonction de la durée, qui est le socle même du concept de volatilité.
Les équations différentielles
Le mouvement brownien est à la base de nombreux modèles utilisant des équations différentielles pour modéliser l’évolution des prix. La forme la plus courante est l’équation de Black-Scholes.
Une représentation simplifiée de l’évolution d’un prix d’actif à un instant peut être exprimée par l’équation ci-contre.
Cette équation signifie que l’évolution du prix est influencée par une tendance moyenne et une composante aléatoire, représentant les fluctuations imprévisibles du marché.
Dans les modèles comme Black-Scholes, cette approche permet de quantifier l’effet de la volatilité sur le prix des options.
Le lemme d'Itō
Développé par Kiyoshi Itō, ce lemme permet de calculer les dérivées de fonctions dépendant de processus stochastiques, comme le mouvement brownien, en ajoutant un terme spécifique lié à la variance.
Dans une équation différentielle stochastique, le lemme d’Itō introduit un terme de correction qui tient compte des variations aléatoires. Celui-ci est indispensable au bon fonctionnement du modèle de Black-Scholes. En appliquant le lemme d’Itō au prix du sous-jacent, il est possible de dériver l’équation de Black-Scholes, qui prend en compte les variations de volatilité.
Un lemme est un résultat ou un théorème intermédiaire qui est utilisé comme une étape pour démontrer des théorèmes plus importants. Dans un contexte mathématique, les lemmes sont des résultats techniques, mais pas des conclusions finales. Par exemple, le lemme d’Itō est une étape dans le calcul stochastique des processus aléatoires, mais il est utilisé comme outil pour démontrer des théorèmes plus grands et applicatifs, comme le modèle de Black-Scholes.
L'application aux marchés financiers
On a vu précédemment qu’en modélisant les fluctuations de prix comme des processus aléatoires, il est possible d’appréhender les variations de marché sous un angle probabiliste.
La modélisation des prix
Dans le monde de la finance et des marchés, on considère que les fluctuations des prix suivent une trajectoire imprévisible, proche d’un processus brownien. Cette hypothèse permet de modéliser les prix comme une séquence de changements aléatoires influencés par des facteurs économiques, politiques et psychologiques.
Le mouvement brownien capture cette incertitude et aide à représenter les prix sous forme de processus stochastique, c’est-à-dire un modèle où les variations sont imprévisibles mais suivent certaines règles statistiques. Dans cette approche, chaque variation de prix est indépendante des précédentes, ce qui rend la prévision des mouvements de marché complexe et incertaine. Cette modélisation est donc particulièrement adaptée pour des périodes courtes où les mouvements de prix semblent aléatoires et influencés par des événements extérieurs imprévisibles.
Le modèle de Black-Scholes
Le modèle de Black-Scholes, développé dans les années 1970 par Fischer Black et Myron Scholes, repose sur l’idée que les prix des actifs suivent un mouvement brownien. Cette approche permet de calculer le prix théorique d’une option en fonction de plusieurs paramètres tels que le prix actuel de l’actif sous-jacent, le prix d’exercice de l’option, la volatilité, le taux d’intérêt sans risque et le temps restant jusqu’à l’échéance.
- La distribution normale : La formule Black-Scholes fait appel à la distribution normale, un concept central en statistiques, pour modéliser les mouvements de prix de l'actif sous-jacent.
- Une fonction logarithmique : Les logarithmes sont utilisés pour simplifier l'expression de la relation entre le prix de l'actif sous-jacent et le prix d'exercice.
- Une exponentielle négative : L'exponentielle négative dans la formule permet de modéliser la décroissance de la valeur de l'option avec le temps.
- La Racine Carrée du Temps : La volatilité est souvent multipliée par la racine carrée du temps restant, reflétant l'incertitude croissante associée à des périodes plus longues.
La Volatilité & le pricing d'options
Le concept de volatilité est incontournable ! Dans le cadre du mouvement brownien, mais pas que, la volatilité est supposée constante, ce qui signifie que les fluctuations des prix sont prévisibles dans leur dispersion autour d’une moyenne, même si leurs valeurs précises restent aléatoires.
De manière générale, plus la volatilité est élevée, plus le prix d’une option (call ou put) est élevé. Cela s’explique par le fait qu’une forte volatilité indique une plus grande incertitude des prix futurs, ce qui accroît les chances, par exemple, de profit pour l’acheteur de l’option. En pratique, cette volatilité est souvent représentée sous forme de volatilité implicite, qui est la volatilité attendue par le marché.
Les limites du concept de mouvement brownien
On vient de le voir ensemble, que le mouvement brownien est largement utilisé pour modéliser les prix. Mais malgré sa popularité et son utilité, ce modèle présente certaines limites, notamment en ce qui concerne sa capacité à représenter les événements rares et les périodes de volatilité extrême.
Pour pallier ces faiblesses, des modèles alternatifs ont été développés ; ceux-ci intègrent des caractéristiques plus spécifiques et mieux adaptées aux marchés financiers modernes. On peut citer par exemple le modèle GARCH.
L’une des principales limites du mouvement brownien est son incapacité à représenter les événements rares ou extrêmes, appelés communément Cygnes noirs. Ces épisodes se produisent beaucoup plus fréquemment que ce que prévoit la distribution normale sur laquelle repose le mouvement brownien. En conséquence, les modèles basés sur le mouvement brownien sous-estiment souvent le risque lié à ces situations extrêmes.
Par exemple, lors de la crise financière de 2008, les pertes observées ont dépassé de loin les prévisions. Ces événements rares, qui échappent aux hypothèses de normalité, nécessitent une approche plus sophistiquée pour capturer l’impact de ces événements de marché.
Le modèle : GARCH
Pour remédier aux limites du mouvement brownien, plusieurs modèles alternatifs ont été développés afin de mieux représenter les fluctuations des prix et la volatilité sur les marchés. On abordera ici uniquement le modèle GARCH, car c’est celui utilisé dans notre gestion du risque et de la volatilité à travers nos modèles. Il en existe une multitude, tels que les modèles dits « à sauts » Jump Diffusion Models ou encore à « volatilité stochastique ».
Les modèles GARCH « Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity » sont conçus pour capturer le phénomène de volatilité dit « clustering ». Contrairement au mouvement brownien, qui suppose une volatilité constante, les modèles GARCH permettent à la volatilité de varier dans le temps en fonction des événements passés. Cela permet de mieux anticiper les périodes d’instabilité, en particulier lors des crises.
En plus du modèle GARCH, chez Sigmas7, nous travaillons également avec la VAR (Value at Risk), mieux adaptée au risque de volatilité extrême. Afin d’évaluer nos performances, nous avons choisi la méthode du Conditional Value at Risk (CVaR), qui est une mesure du risque extrême estimant la perte attendue dans les scénarios défavorables situés au-delà de la VaR. Dans la même optique que le modèle GARCH, cette méthode est complétée par le stress test, qui consiste à évaluer l’impact de scénarios de marché extrêmes ou défavorables, comme lors de la crise du COVID-19, par exemple.
Conclusion
Le concept de mouvement brownien a fait son chemin de Louis Bachelier à nos jours ; il a depuis révolutionné le monde de la finance de marché, offrant un cadre mathématique permettant de modéliser les fluctuations aléatoires des prix grâce à ses propriétés stochastiques.
Cependant, le principe même du mouvement brownien a éprouvé des difficultés, notamment lors d’événements rares de volatilité extrême. Les crises financières ont révélé la nécessité de modèles plus sophistiqués. En réponse, des modèles alternatifs, tels que les GARCH, les modèles à sauts et les modèles de volatilité stochastique, ont été développés pour mieux représenter la complexité des marchés
Sigmas7 a fait le choix du modèle GARCH dans sa gestion du risque et de la volatilité ! Afin de découvrir la mise en application de ces modèles via le concept de la CVaR ou encore des modèles GARCH, nous vous invitons à consulter nos résultats dans les sections backtest et stress-test de notre plateforme Statick7.
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https://cdombry.perso.math.cnrs.fr/Finance_ch4.pdf
http://neumann.hec.ca/~p240/c8064604/theme_3/9MouvementBrownien.pdf
https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/physique-einstein-na-pas-toujours-raison-comme-prouve-mouvement-brownien-20049/
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